Mencari Persamaan Parabola yang Dipotong Garis 2x – y + 5 = 0 di Titik (1, 7) dan (3, 11)

bisajawab.com – “Miss Ima, tolong bantu jawab pertanyaan ini ya. Jika garis G: 2x – y + 5 = 0 memotong parabola di titik A dan B dengan x_A = 1 dan x_B = 3, persamaan parabola adalah y = …?”

Oke, adik-adik, pertanyaan ini menarik! Mari kita selesaikan bersama-sama.

Langkah-langkah Mengatasi Masalah

1. Mencari Titik A dan B:

   • Kita sudah tahu x_A = 1 dan x_B = 3. Kita bisa substitusikan nilai x ini ke persamaan garis G untuk mencari nilai y_A dan y_B.
   • Untuk x_A = 1, kita punya: 2(1) – y_A + 5 = 0, sehingga y_A = 7. Jadi titik A adalah (1, 7).
   • Untuk x_B = 3, kita punya: 2(3) – y_B + 5 = 0, sehingga y_B = 11. Jadi titik B adalah (3, 11).

2. Menentukan Bentuk Umum Parabola:

   • Parabola memiliki bentuk umum y = ax² + bx + c. Kita perlu mencari nilai a, b, dan c untuk mendapatkan persamaan parabola yang tepat.

3. Substitusi Titik A dan B ke Persamaan Parabola:

   • Karena titik A (1, 7) dan B (3, 11) berada pada parabola, maka kedua titik ini harus memenuhi persamaan parabola. Kita substitusikan nilai x dan y dari kedua titik ke persamaan umum parabola:
     • Untuk titik A (1, 7): 7 = a(1)² + b(1) + c, simplifikasi menjadi a + b + c = 7.
     • Untuk titik B (3, 11): 11 = a(3)² + b(3) + c, simplifikasi menjadi 9a + 3b + c = 11.

4. Membentuk Sistem Persamaan:

   • Sekarang kita memiliki dua persamaan dengan tiga variabel (a, b, dan c):
     • a + b + c = 7
     • 9a + 3b + c = 11

5. Memecahkan Sistem Persamaan:

   • Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, misalnya dengan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi:
     • Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua: (9a + 3b + c) – (a + b + c) = 11 – 7, sehingga kita dapatkan 8a + 2b = 4.
     • Bagi kedua ruas persamaan ini dengan 2: 4a + b = 2.

6. Mencari Nilai a dan b:

   • Kita sekarang memiliki dua persamaan dengan dua variabel:
     • a + b + c = 7
     • 4a + b = 2
   • Kita bisa menyelesaikan sistem persamaan ini untuk mendapatkan nilai a dan b. Misalnya, dengan metode substitusi:
     • Dari persamaan kedua, kita dapatkan b = 2 – 4a.
     • Substitusikan nilai b ini ke persamaan pertama: a + (2 – 4a) + c = 7. Simplifikasi menjadi -3a + c = 5.
     • Kita masih memiliki dua variabel (a dan c). Kita perlu mencari nilai c.

7. Mencari Nilai c:

   • Karena parabola dipotong garis lurus di dua titik, maka garis lurus merupakan garis singgung parabola. Kita bisa gunakan sifat garis singgung parabola untuk mencari nilai c.

Sifat Garis Singgung Parabola

Garis singgung parabola memiliki sifat istimewa:

• Gradien garis singgung di titik A sama dengan gradien parabola di titik A.
• Gradien garis singgung di titik B sama dengan gradien parabola di titik B.
• Menentukan Gradien Garis Singgung:
  • Gradien garis G (2x – y + 5 = 0) adalah 2. Ini karena gradien garis dalam bentuk umum y = mx + c adalah m.
  • Jadi, gradien parabola di titik A (1, 7) adalah 2.
• Menghitung Turunan Parabola:
  • Turunan parabola y = ax² + bx + c adalah y’ = 2ax + b. Turunan ini merepresentasikan gradien parabola di setiap titik.
  • Kita tahu gradien parabola di titik A (1, 7) adalah 2. Substitusikan x = 1 dan y’ = 2 ke persamaan turunan: 2 = 2a(1) + b, sehingga kita dapatkan 2a + b = 2.
• Memecahkan Sistem Persamaan untuk a dan b:
  • Kita sekarang memiliki dua persamaan dengan dua variabel:
    • 4a + b = 2
    • 2a + b = 2
  • Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama: (4a + b) – (2a + b) = 2 – 2, sehingga kita dapatkan 2a = 0. Jadi a = 0.
  • Substitusikan nilai a = 0 ke persamaan 2a + b = 2: 2(0) + b = 2, sehingga b = 2.
• Mencari Nilai c:
  • Substitusikan nilai a = 0 dan b = 2 ke persamaan -3a + c = 5: -3(0) + c = 5, sehingga c = 5.
• Menentukan Persamaan Parabola:
  • Kita telah menemukan nilai a, b, dan c: a = 0, b = 2, dan c = 5. Substitusikan nilai ini ke persamaan umum parabola: y = ax² + bx + c, sehingga y = 0(x²) + 2x + 5.

Jadi, persamaan parabola adalah y = 2x + 5.

Kesimpulan

Kita telah berhasil menemukan persamaan parabola dengan menggunakan informasi tentang titik potong garis lurus dan sifat garis singgung parabola. Proses ini melibatkan langkah-langkah aljabar dan kalkulus sederhana. Melalui pemahaman yang lebih dalam tentang konsep-konsep ini, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah terkait parabola dan garis singgungnya.